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簡介

在 《門羅幣隱私保護之隱形地址》 文章中，我們重點介紹了門羅幣Monero的隱形地址技術(shù)，門羅幣通過隱形地址保證了交易的不可鏈接性，并實現(xiàn)了用戶的隱私保護和監(jiān)管需求。

本文將繼續(xù)介紹門羅幣的另一個核心技術(shù)——環(huán)簽名技術(shù)，Monero通過環(huán)簽名技術(shù)，實現(xiàn)了交易的不可追蹤性。

• 不可鏈接性 （Unlinkability）：對于任何兩筆outgoing交易，無法證明它們是發(fā)送給同一個人的。即對于任何兩個 outgoing 交易，無法證明它們是由同一個人收款的。
• 不可追蹤性 （Untraceability）：對于每一筆incoming交易，所有可能的發(fā)送者都是等概率的。這意味著，對于任何兩個incoming交易，無法證明它們是由同一個人發(fā)送的。

注：incoming和outgoing交易分別表示用戶的收款和支出交易。

基礎(chǔ)知識

術(shù)語定義

• \(\mathbb{Z}_l\) ：有限域， \(l\) 是一個大素數(shù)，如： \(l = 2^{252} + 27742317777372353535851937790883648493\)
• \(P_i\) ：公鑰，在環(huán)簽名中表示環(huán)中第 \(i\) 個公鑰, 當 \(i = s\) 時， \(P_s\) 是簽名者的公鑰
• \(R\) ：環(huán)簽名的環(huán)，一組公鑰的集合， \(R = {P_1, P_2, ..., P_n}\) ，包含 \(P_s\)
• \(x_s\) 或者 x_s ：環(huán)簽名中簽名者的私鑰, 私鑰范圍在 \(\mathbb{Z}_l\) 內(nèi)
• \(\sigma\) ：環(huán)簽名的簽名結(jié)果
• \(m\) ：待簽名的消息。在簽名時，通常會先對消息進行哈希處理。
• \(H_s\) ：特性哈希函數(shù), 將輸入映射到 \(\mathbb{Z}_l\) ，如： \(H_s: \{0, 1\}^* \rightarrow \mathbb{Z}_l\)
• \(H_p\) ：特性哈希函數(shù), 將輸入映射到橢圓曲線上的點，如： \(H_p: \{0, 1\}^* \rightarrow E(\mathbb{F}_q)\)
• \(I\) ：密鑰鏡像，在門羅幣中使用，用于防止雙花攻擊

環(huán)簽名

環(huán)簽名 ( Ring Signature )是一種數(shù)字簽名方案，允許一組用戶中的任何一個用戶為某個消息生成簽名，而不需要透露具體是哪個用戶生成的簽名。環(huán)簽名的主要特點是它提供了 簽名 的 匿名性 和 可驗證性 ，確保簽名者的身份在簽名過程中保持隱私。

環(huán)簽名的基本概念

• 環(huán) ：環(huán)簽名的“環(huán)”指的是一組公鑰，這些公鑰代表了可能的簽名者。簽名者在生成簽名時，會選擇一個環(huán)中的公鑰作為自己的身份，但外部觀察者無法確定具體是哪個公鑰對應的用戶。
• 簽名 ：簽名者使用自己的私鑰和環(huán)中其他用戶的公鑰生成簽名。這個簽名可以被任何人驗證，但無法確定簽名者的身份。
• 驗證 ：任何人都可以使用環(huán)來驗證簽名的有效性，確保簽名確實是由環(huán)中的某個用戶生成的。

環(huán)的大小是環(huán)簽名方案的一個重要參數(shù)，環(huán)越大，簽名者的身份越難以確定，簽名的匿名性越高。但是環(huán)的大小也會影響簽名的計算和驗證性能，因此需要在匿名性和性能之間進行權(quán)衡。

環(huán)簽名構(gòu)造和驗證流程

1. 初始化：簽名者Bob選擇環(huán)R中的公鑰，如{ \({P_1, P_2, ..., P_i, ..., P_n}\) }，其中Bob自身的公鑰 \(P_s\) 也在放入環(huán)R中
2. 生成簽名：Bob基于環(huán)R中的公鑰和自己的私鑰 \(x_s\) 以及待簽名消息 \(m\) ，生成環(huán)簽名 \(\sigma\)
3. 驗證簽名：任何人都可以基于環(huán)R，消息m對簽名 \(\sigma\) 進行驗證

環(huán)簽名方案 涉及一個三元組 \((KeyGen, Sign, Verify)\) ，其中：

• \(KeyGen\) ：密鑰生成算法，簽名者使用 \(KeyGen\) 生成公私鑰對 \((P_s, x_s)\)
• \(Sign(m, R, x_s)\) ：簽名算法，簽名者使用 \(Sign\) 生成環(huán)簽名 \(\sigma\) , 其中 \(m\) 是消息， \(R\) 是環(huán)， \(x_s\) 是簽名者的私鑰
• \(Verify(m, R, \sigma)\) ：驗證算法，任何人都可以使用 \(Verify\) 驗證簽名的有效性。算法結(jié)果為布爾值， \(true\) 表示簽名有效， \(false\) 表示簽名無效。

門羅幣之環(huán)簽名

回顧在 《門羅幣隱私保護之隱形地址》 介紹的交易模型，Bob作為收款方，能夠驗證每一筆相關(guān)交易的有效性。

進一步說明：

• Bob作為收款人，在驗證每筆交易時，Bob只需對每個輸出執(zhí)行兩次橢圓曲線乘法和一次加法（即生成 \(P'\) )，以檢查該交易是否屬于他。
• 對于每個屬于Bob的UTXO，Bob恢復一個密鑰對 \((x, P)\) 并將其存儲在錢包中。
• 只有Bob可以生成地址 \(P\) 的私鑰 \(x\) ，因此只有Bob能夠花費這筆收入。

值得注意的是， \((P, x)\) 是 一次性密鑰 ，當Bob花費這筆收入時，會使用該密鑰參與環(huán)簽名，之后可以丟棄。

門羅幣環(huán)簽名

門羅幣使用環(huán)簽名技術(shù)，實現(xiàn)了交易的不可追蹤性。門羅幣的環(huán)簽名方案基于CryptoNote協(xié)議。在CryptoNode協(xié)議中，環(huán)簽名交易模型如下：

• 加入環(huán)：Bob從門羅幣公開賬本中隨機選擇UTXO，以及自己待花費的UTXO，放入到新創(chuàng)建的UTXO中，作為交易的 Tx input , 所有UTXO的收款方地址{ \({P_1, ..., P_s, ..., P_n}\) }構(gòu)成環(huán) \(R\)
• 生成密鑰鏡像：Bob使用自己的簽名私鑰 \(x_s\) 和公鑰 \(P_s\) , 生成密鑰鏡像 \(I\) ，區(qū)塊鏈礦工在驗證交易時，會驗證 \(I\) 是否已經(jīng)被使用過，以防止雙花攻擊
• 生成簽名：Bob使用環(huán) \(R\) 和自己的私鑰 \(x_s\) ，對交易進行簽名，生成環(huán)簽名 \(\sigma\)

門羅幣環(huán)簽名方案

門羅幣環(huán)簽名方案涉及一個四元組 \((KeyGen, Sign, Verify, Link)\) ，其中：

• \(KeyGen, Sign, Verify\) 與一般的環(huán)簽名方案功能類似
• \(Link\) ：區(qū)塊鏈礦工通過 \(Link\) 算法驗證對應的密鑰鏡像 \(I\) 是否已經(jīng)被使用過，以防止雙花攻擊

密鑰生成KeyGen

門羅幣的KeyGen算法與一般的環(huán)簽名方案類似，目的都是生成公私鑰對 \((P_s, x_s)\) ，其中 \(P_s\) 是簽名者的公鑰， \(x_s\) 是簽名者的私鑰。
不同的是：

• 門羅幣的公鑰來自于隱形地址技術(shù)，即 \(P_s = H_s(aR)G + B\) , 對應的私鑰 \(x_s = H_s(aR) + b\)
• 門羅幣的KeyGen算法還會生成密鑰鏡像 \(I\) ，用于防止雙花攻擊。其中, \(I = x_s \cdot H_p(P_s)\)

簽名算法Sign

在門羅幣中，由于簽名公私鑰對 \((P_s, x_s)\) 是由隱形地址技術(shù)生成的，并且僅用于一次性簽名，因此門羅幣環(huán)簽名我們也稱為 一次性環(huán)簽名 。

門羅幣的Sign算法如下：

1. 初始化：

   • 隨機選取其他用戶的公鑰 \(P_i\) ，結(jié)合自己的公私鑰對 \((x_s, P_s)\) ，構(gòu)成環(huán) \(R = {P_1, P_2, ..., P_s, ..., P_n}\)
   • 選擇兩個隨機數(shù)集合 \(Q\) 和 \(W\) ，如下
     • \(Q = \{q_i\}\) , \(i = 1, 2, ..., n \And q_i \in \mathbb{Z}_l\)
     • \(W = \{w_i\}\) , \(i = 1, 2, ..., n \And i \neq s \And w_i \in \mathbb{Z}_l\)

2. 計算環(huán)簽名(類似零知識承諾：承諾-挑戰(zhàn)-響應，可以參考之前的文章 《零知識證明之承諾方案》

   • 計算承諾，承諾由兩個集合組成 \(L\) 和 \(R\) ，集合元素計算如下：

   • 計算挑戰(zhàn)(實際上是前面已有知識的哈希值)

     其中， \(m\) 是待簽名的消息，在這里表示交易信息(簽名除外，因為簽名還未生成)

   • 計算響應

   其中， \(\sigma\) 就是環(huán)簽名的簽名值， \(\sigma\)

驗證算法Verify

區(qū)塊鏈礦工在收到交易后，會對交易進行簽名驗證。礦工已知 \(R = {P_1, P_2, ..., P_n}\) ，以及環(huán)簽名 \(\sigma = (I, c_1, ..., c_n, r_1, ..., r_n)\) , 簽名驗證Verify算法如下：

• \(L^{'}\) 和 \(R^{'}\) 為兩個集合， \(\forall i \in [0, n]\)

• 簽名驗證等式

如果上述等式成立，則簽名有效，否則簽名無效，交易被拒絕。

正確性驗證

• 計算 \(L^{'}\)

在上述推導中，由于 \(P_s = x_s \cdot G\) ，所以： \(-c_s \cdot x_s \cdot G + c_s \cdot P_s = -c_s \cdot P_s + c_s \cdot P_s = 0\)

• 計算 \(R^{'}\)

在上述推導中，由于 \(I = x_s \cdot H_p(P_s)\) ，所以： \(-c_s \cdot x_s \cdot H_p(P_s) + c_s \cdot I = -c_s \cdot I + c_s \cdot I = 0\)

• 計算 \(\sum_{i=0}^{n} c_i\)

由于 \(L^{'} = L\) 且 \(R^{'} = R\) ，所以：

因此，簽名驗證等式成立，簽名有效。

雙花驗證Link

，密鑰鏡像和密鑰對之間的關(guān)系如下：

密鑰鏡像 \(I\) 的計算方式，反映了用戶密鑰和密鑰鏡像之間存在一一對應關(guān)系，而用戶密鑰(x, P)基于隱形地址技術(shù)，只使用一次，且與交易綁定。
礦工會記錄所有交易的密鑰鏡像列表，在收到新交易時，會檢查交易中的 \(I\) 是否已存在于列表中，如果存在，則說明該交易的(x, P)已經(jīng)被使用過，是一筆雙花交易，交易被拒絕。

結(jié)語

環(huán)簽名是門羅幣的另一個核心技術(shù)，通過環(huán)簽名技術(shù)，實現(xiàn)了交易的不可追蹤性。本文簡單介紹了環(huán)簽名的基本概念，并詳細介紹了門羅幣的環(huán)簽名方案，包括密鑰生成、簽名、驗證和雙花驗證等算法。希望通過本文的介紹，讀者對隱私幣的匿名技術(shù)有更進一步的了解。

門羅幣隱私保護使用了多種技術(shù)，包括隱形地址、環(huán)簽名、機密交易等，這些技術(shù)共同構(gòu)成了門羅幣的隱私保護體系。在接下來的文章中，我們將繼續(xù)介紹門羅幣的其他隱私保護技術(shù)。

參考文獻

• 【1】 CryptoNote wiki
• 【2】 Monero wiki
• 【3】 Home | Monero - secure, private, untraceable
• 【4】 Elliptic-curve cryptography
• 【5】 CryptoNote whitepaper v2.0
• 【6】 《零知識證明之承諾方案》