\(\text{1 }\) 耳和耳分解 \(\text{1.1 }\) 耳和耳分解 對(duì)于一個(gè)無(wú)向圖 \(G = (V,E)\),有一個(gè)子圖 \(G_1 = (V_1,E_1)\)。若有一條環(huán)或者簡(jiǎn)單鏈 \(L:u_1 \to u_2 \to \cdots \cdots \to u_k\),滿(mǎn)足條件
對(duì)于一個(gè)無(wú)向圖\(G = (V,E)\),有一個(gè)子圖\(G_1 = (V_1,E_1)\)。若有一條環(huán)或者簡(jiǎn)單鏈\(L:u_1 \to u_2 \to \cdots \cdots \to u_k\),滿(mǎn)足條件\(u_1,v_k \in V_1\)并且\(u_2,\cdots \cdots,u_k \notin V_1\),則稱(chēng)之為\(L\)是\(G\)關(guān)于\(G_1\)的耳,特別的當(dāng)\(L\)是一條簡(jiǎn)單路徑是\(L\)是\(G\)關(guān)于\(G_1\)的開(kāi)耳。
對(duì)于一個(gè)無(wú)向圖\(G\),若聯(lián)通圖\((G_0,G_1, \cdots \cdots ,G_k)\)滿(mǎn)足:
\(G_0\)是一個(gè)簡(jiǎn)單環(huán),\(G_k = G\)。
\(G_{i - 1}\)是\(G_i\)的子圖。
設(shè)\(G_i = {V_i,E_i}\),則\(E_i\)\(E_{i - 1}\)組成\(G_{i - 1}\)的一個(gè)耳(開(kāi)耳)。
則稱(chēng)\((G_0,G_1, \cdots \cdots ,G_k)\)是\(G\)的一個(gè)耳(開(kāi)耳)分解。此處還有一個(gè)性質(zhì),若一個(gè)圖\(G\)存在耳分解,當(dāng)且僅當(dāng)\(G\)邊雙連通。
給定無(wú)向圖\(G = (V,E)\)和兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)\(s,t\),則一下這四個(gè)命題等價(jià):
在添加\((s,t)\)之后\(G\)點(diǎn)雙聯(lián)通。
\(G\)的圓方樹(shù)中所有方點(diǎn)構(gòu)成一條鏈,\(s \to t\)是圓方樹(shù)的一條直徑。
存在一種對(duì)\(G\)的邊進(jìn)行定向的方法,得到一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖,且\(s\)入度為零,\(t\)出度為零,其余點(diǎn)出入度都不為零。
存在一個(gè)點(diǎn)的排列\(zhòng)(p_1,p_2, \cdots \cdots ,p_k\),使得\(p_1 = s,p_k = t\),且任意前綴和后綴的導(dǎo)出子圖都是聯(lián)通的。
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